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给定 $n$ ，求下式的值

$\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{n}\frac{\text{lcm}(i,j)}{\text{gcd}(i,j)}$

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题面挺长的所以挂链接

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听说这是两个经典 trick 的结合，mark 一下。

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给一个数列，每次随机从 $[1,m]$ 中选择一个数添加到数列末尾，直至数列的 $\gcd =1$ 时停止。求期望长度。
$1\leq m\leq 10^5$

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T1 COCI2019 Quiz

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题面不长但是放个链接算惹

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给定一棵大小为 $n$ 的树，你需要给树上的点两两配对，对于一组对子 $(u,v)$ ，在树上将 $u\rightarrow v$ 的路径染色。定义一个配对方案合法当且仅当所有边都有颜色。
求方案数对 $10^9 + 7$ 取模。
$n\leq 5\times 10^3,2|n$

博主鉴于自己的树形 dp 水平太 low 前段时间专门练习了下树形 dp。
就把题解和方法整理在一篇博客里算了。
希望自己以后遇到树形 dp 的题目能有更多准确的想法吧 🌹。

T1 寿司餐厅

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太长了挂个链接算惹

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如果一个无自环无重边无向连通图的任意一条边最多属于一个简单环，我们就称之为仙人掌。所谓简单环即不经过重复的结点的环。现在给定一张无自环无重边的无向连通图，求有多少种合法的加边方案，使得加边后原图是张仙人掌图。$T$ 组测试数据。

$\sum n\leq 5\times 10^5,\sum m\leq 10^6$

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考试的时候碰见了这玩意，Kewth 也说挺常见的。
学的时候不太顺利，怕自己以后又忘了，写篇博客合影留念讲讲自己的理解。

概述

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给定 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 以及 $n$ 个整数 $w_1,w_2,\cdots,w_n$ 。称 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 的一个排列 $a_{p_1},a_{p_2},\cdots,a_{p_n}$ 为一个合法排列当且仅当该排列满足：对于任意的 $k$ 和任意的 $j$ ，如果 $j\leq k$ ，那么 $a_{p_j}\ne p_k$ 。定义一个合法排列的权值为 $w_{p_1}+2w_{p_2}+\cdots + nw_{p_n}$ 。
你需要求出所有合法排列中的最大权值。如果不存在，输出 -1 。
$n\leq 5\times 10^5,a_i\in[0,n],\sum w_i\leq 1.5\times 10^{13}$